पथरी में एक सीमा की सटीक परिभाषा क्या है?

डैनियल मिल्चेव / स्टोन / गेट्टी छवियां

कैलकुस में एक सीमा की परिभाषा वह मान है जो एक फ़ंक्शन करीब हो जाता है लेकिन इनपुट परिवर्तन के रूप में कभी भी आगे नहीं बढ़ता है। सीमाएं कैलकुलस के सबसे महत्वपूर्ण पहलुओं में से एक हैं, और इनका उपयोग ग्राफिकल अर्थों में निरंतरता और कार्यों के मूल्यों को निर्धारित करने के लिए किया जाता है।



सीमाओं के बारे में सोचने का एक आसान तरीका एक वृत्त में त्रिभुज की कल्पना करना है। सादृश्य में, वृत्त सीमा का प्रतिनिधित्व करता है, जबकि त्रिभुज इनपुट मान या फ़ंक्शन का प्रतिनिधित्व करता है। जैसे ही इनपुट एक वर्ग में बदल जाता है, फिर एक हेप्टागन, फिर एक अष्टकोण, सर्कल के अंदर का आकार इसके चारों ओर सर्कल की तरह दिखने लगता है। गणित में, इनपुट आकार सीमा वृत्त की तरह एक पूर्ण वृत्त होने के असीम रूप से करीब पहुंच सकता है, लेकिन यह कभी भी पूरी तरह से इस चरण तक नहीं पहुंच सकता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि वास्तव में कभी भी उस सीमा तक पहुंचे बिना सीमा के करीब पहुंचने की अनंत संख्या में गणितीय संभावनाएं हैं।

ग्राफ़ में, कैलकुलस सीमा की इस सरल परिभाषा के साथ काम करता है और इसे समीकरणों पर लागू करता है। एक सामान्य ग्राफ़ सीमा समीकरण lim f(x) = संख्या मान है। सीमा उस स्थान पर लागू होती है जहां ग्राफ़ पर रेखाएं गिरती हैं, इसलिए जैसे ही x का मान बदलता है, संख्या मान वह होगा जहां सीमा (रेखा) और x मान प्रतिच्छेद करते हैं।